アーベル砂山 — 積んで崩すだけで、順番によらない紋様

なにか

砂山の模型（Bak–Tang–Wiesenfeld, 1987）は、格子の各マスに砂粒の数を置き、4 粒たまったら 4 隣に 1 粒ずつ配るだけの規則である。真ん中に大量の砂を積んで崩し切ると、円い山の中にフラクタルの紋様が現れる。DLAや乾燥亀裂と同じ「規則 1 行で模様」の家系だが、この模型には他にない性質がある——崩す順番をどう変えても、最後の配置が同じ（アーベル性・Dhar 1990）。だから「砂山の紋様」は乱数も順番も関係なく、砂の量だけで一意に決まる。

順番によらない、帳簿はラプラシアン、群には単位元

①アーベル性。崩す順番を 3 通り——崩れたマスの隣を待ち行列で、行を上から走査して、乱数の順で——変えて 20,000 粒を崩し切ると、最後の配置も、各マスが崩れた回数も、14,641 マスすべてで一致した（崩れた回数 7,274,878 回）。

②帳簿は厳密。各マスの崩れた回数を u と書くと、崩れは「4 粒出て隣から 1 粒ずつ入る」だけなので、最後の配置は z_final = z₀ + Δu（Δ は離散ラプラシアン: 隣 4 つの和 − 4 倍）で、全マスで等号が成り立つ（最大ずれ 0）。紋様の全情報は「どこが何回崩れたか」という 1 枚の帳簿に入っている。

③群と単位元。安定な配置のうち「砂を足して戻れる」ものは足し算（足して崩し切る）で群をなし、その単位元 e は e = (2δ − (2δ)°)°（δ = 全マス 3・° は崩し切る）で作れる。64×64 で作った e は自分自身がフラクタルの紋様で、e + e → e、e + δ → δ——足して崩し切っても相手を変えない配置であることを確かめた。

④半径は √M。高さが 3 以下に抑えられるので面積は砂の量に比例する。4,000 → 16,000 → 64,000 粒で半径 24.7 → 48.5 → 96.2（比 1.961・1.983）。

⚠️ 単位元の式（Dhar）と、M → ∞ で紋様の形が収束すること（Pegden–Smart 2013）は伝聞。確かめたのは上の等式だけ。値 3 の割合は 1,000 → 64,000 粒で 39.5% → 52.5% とまだ上がり続けていて、形の収束は確かめていない（256,000 粒は 39 秒かかるので図は 64,000 まで）。⚠️ ラスタなので図は自前の PNG エンコーダで SVG に埋めた。復号して画素が戻ること、base64 の中に偶然「NaN」の 3 文字が入っても検査が誤らないことを固定した。

→ DLA（乱数で育つフラクタル。こちらは順番も乱数も関係ない）

→ 太鼓の節線（同じラプラシアンが、連続では音を決める）

どう作ったか

generators/sandpile.js。崩し切る手続きを 3 通り（待ち行列＝環状バッファ・行の走査・乱数）持ち、崩れた回数の帳簿を一緒に返す。機械検査は 11 件: ★3 つの順番で配置と回数が全マス一致、★z_final = z₀ + Δu が全マスで等号、砂の保存と上限 3、8 つの対称、半径 ∝ √M（比 1.96・1.98）、⚠️ 値 3 の割合がまだ上がる、32×32 と 64×64 の単位元（e+e→e・e+δ→δ）、PNG の往復、出荷SVG 2 枚（PNG を除いて NaN 検査）。

出典

数理

P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld, "Self-organized criticality: An explanation of 1/f noise", Phys. Rev. Lett. 59 (1987)／D. Dhar, "Self-organized critical state of sandpile automaton models", Phys. Rev. Lett. 64 (1990)／W. Pegden, C. K. Smart, "Convergence of the Abelian sandpile", Duke Math. J. 162 (2013)。⚠️ 単位元の式と収束定理は伝聞

親戚

DLA・乾燥亀裂・誘電破壊（規則 1 行で模様）・太鼓の節線（ラプラシアン）

生成

generators/sandpile.js（sandpile.svg 100,000 粒・sandpile-book.svg 帳簿）・generators/lib/png.js（PNG エンコーダ）