オオウチ図形をトンネルへ巻く

なにか

オオウチ図形は、横長の長方形の市松の地に、長方形を 90° 回した市松で埋めた円を置いた図形である。止まった絵なのに、目や紙の小さな揺れで円が地から浮いて滑って見える。オオウチ錯視の記事では、Fermüller・Pless・Aloimonos（2000）の模型で、内と外の動きの見積もりがどれだけずれるかを数で出した。

雷文のトンネル（第44号）は、平らな周期模様を ξ = A·log z で写して、中心へ吸い込まれる絵にした。z は絵の点で、トンネルの中心を 0 に置く。A = ω/(2πi) と置くと、絵の上で中心のまわりを 1 周したとき、模様の上ではちょうど ω だけ進む。ω を模様の周期に選べば絵に継ぎ目は出ない。この号では、オオウチ図形の市松をこの写し方で巻いた。長方形は短い辺 1・長い辺 4 にした。円の中の 90° 回した市松でも ω が周期になるよう、ω は (8a, 8b) の形に限った。2 つの市松の周期の格子の、共通部分がこの形になる。

見立ては 3 つ置いた。1 つ目は「巻く写像は等角なので長方形の縦横比は場所によらず保たれ、だから偏りの強さも巻く前と同じになる」。2 つ目は「中心ほど長方形が小さくなるので、中心ほど偏りが消える」。3 つ目は「円の中と外の向きの差（90°）は、巻いたあと回転（渦）に変わる」。

升の形はどこでも相似

dξ = (A/z) dz なので、絵の点 z = r·e^{iθ} では、模様は r/|A| 倍に縮められ、長い辺は θ − arg A の向きを向く。模様の上で ξ を平行に動かすことは、絵の上では z を回して拡大することにあたる。だから、どの升の像も互いに相似になる。縦横比が場所によらないのは近似ではなく、厳密に成り立つ。

ただし、像の縦横比はちょうど 4 ではない。升の 2 本の中線（長さ 4 と 1）の像の長さを式にすると、比は L·sinhc(L k_x/2)/(w·sinhc(w k_y/2)) になった。k_x = Re(1/A)、k_y = −Im(1/A)、sinhc(u) = sinh(u)/u である。1 周に短い辺が 512 並ぶ ω = (32, 512) では 4.000398、カードの ω = (16, 96) では 4.010804 だった。離れた 5 つの升で像の中線を折れ線でたどると、比のばらつきは 1.0×10⁻¹³ と 6.1×10⁻¹⁴ で、式と 3×10⁻¹¹ 以内で合った。

偏りの強さは長方形の大きさで決まる

ところが、偏りの強さは巻く前と同じにはならなかった。1 つ目の見立ては、縦横比の半分だけが当たった。オオウチ錯視の記事と同じく、目のぼけを幅 1 のガウス、勾配のノイズの分散を 0.02 と置き、長さは目のぼけの幅を単位にした。すると、長い辺に沿った動きの縮み s_長 と長い辺を横切る動きの縮み s_短 の差 D = s_短 − s_長 は、縦横比だけでなく長方形の大きさにもよる。巻いた絵の点 r では、短い辺の長さは w_pic = r/|A| になる。D は w_pic だけで決まり、トンネルの巻き方は r と w_pic の対応だけを決める。

D の山は w_pic = 2.41 にあり、D = 0.5286 になった。平らなオオウチ図形（w = 4）の 0.4663 と同じ値になるのは、w_pic = 4 と、山の手前の 1.89 の 2 か所だけである。w_pic が 1.095 を下回ると D は 0.01 より小さく、長方形は目のぼけで灰色に溶ける。山の半分以上の強さが出るのは 1.54〜21.1 の範囲だった。2 つ目の見立ては当たった。ただ、見立てになかったこともある。外側でも長方形が大きくなるほど縁の数が減り、D はゆっくり小さくなった。強い所は中心と外の間の輪になる。

閉じた式は、窓が長い極限での 1 次元の平均の積である。これとは別に、巻いた絵を画素で描いて窓で測った。1 周に短い辺が 512 並ぶトンネル（|A| = 81.65）を使い、窓の中で大きさがあまり変わらないようにした。窓はガウスで幅 2·L_pic、刻みは 0.5 で、2 × 2 の副標本で描いてから目のぼけでぼかした。比べとして、同じ点で巻く写像を相似変換に置き換えた平らな市松（1 次近似）も同じやり方で測った。w_pic = 1.5〜6 の 10 点で、巻いた絵の D は閉じた式と最大 0.0647 違った。長い辺の向きは θ − arg A と最大 0.89° の差で合った。

巻いた絵から 1 次近似を引くと、w_pic が 2 以上では −0.0185〜−0.0089 で、どれも負だった。w_pic = 1.5 では +0.0223 と +0.0280 で正になった。最初の版では符号が変わる理由を確かめておらず、D の曲線の曲がる向き（2 階微分の符号）で説明しようとした。2 階微分は w_pic = 1.5〜3 で負、4 と 6 で正で、差の符号とは揃わなかった。

（2026-09-25 追記）理由を調べた。数字を出す前に置いた見立ては次のとおり。窓の中では、巻いた絵の縮尺 ln r と向き θ が点ごとに少しずつずれる。どちらも調和関数なので、窓で平均すると中心の値に戻り、ばらつきの分散は s² = (σw/r)² = (8/|A|)² になる。|A| = 81.65 では s² = 0.0096 で、w_pic によらない。M は窓で平均してから縮みに通すので、差は s² に比例する 2 つの項に分かれる。向きのばらつきは長い辺と短い辺の向きの勾配を混ぜるので、この項はいつも負になる。縮尺のばらつきは M の成分を ln w_pic での 2 階微分の分だけ動かすので、この項の符号は M の曲がり方で決まる。

2 つの項を閉じた式から出すと、w_pic = 1.5 では縮尺の項 +0.0282 と向きの項 −0.0046 で合計 +0.0236 になった。w_pic = 2・3・4・6 では向きの項が勝ち、合計は −0.0147・−0.0179・−0.0136・−0.0094 だった。画素で測った差の 2 点の平均は +0.0252・−0.0141・−0.0175・−0.0138・−0.0091 で、式との差は最大 0.0016 だった。符号が変わる所は、式では w_pic = 1.74 になる。画素では 1.8 で +0.0016 と −0.0005 に分かれ、1.9 では 2 点とも負だった。トンネルを 2 倍に細かくすると（ω = (64, 1024)）、s² は 4 分の 1 の 0.0024 になる。w_pic = 3 の差も −0.0049 と −0.0044 に縮んだ（式 −0.0045）。見立ては当たった。D の 2 階微分で揃わなかったのは、平均するのが D ではなく M だからである。D の 2 階微分には縮みの曲がりの項が入るが、M を平均した差には入らない。そのうえ向きの項は D の曲線からは出てこない。w_pic = 1 では差の符号が θ で分かれる（+0.0027 と −0.0080）ので、比べていない。

見積もりのずれは 1 周で 2 回まわる

w_pic = 3 の輪の上に 15° ごとの 24 点を取り、同じく画素で測った。一様に横へ揺らしたときの見積もり S u0 から、輪の上の平均を引いたものを「ずれ」と呼ぶ。φ = θ − arg A（arg A = −3.58°）と置くと、式ではずれは −(D/2)(cos 2φ, sin 2φ) になる。測った長い辺の向きは θ − arg A と最大 0.69° の差だった。ずれの大きさは 0.2371〜0.2544 で、式の D/2 = 0.2547 に近い。ずれの向きは式と最大 1.60° の差で、1 周するあいだにずれの向きがまわる回数は、測って 2.000、式でも 2.000 になった。

3 つ目の見立ては外れた。回転の渦なら、ずれはいつも輪に沿い、1 周で 1 回まわる。測ったずれの輪に沿う成分（向きの余弦の絶対値）は 0.133〜0.992 と大きくばらついた。向きが 2 倍の速さで回るのは、見積もりの縮み S が向き φ で決まる対称行列で、φ を 180° 回すと元に戻るからである。

円を置かなくても、巻いた市松だけで場所ごとに見積もりが違う。長方形の向きが Δθ だけ違う 2 点の差は D·|sin Δθ| になる。これはオオウチ錯視の記事で、内の長方形を φ だけ回したときに出した式と同じである。中心を挟んで向かい合う 2 点は向きが 180° 違うので差は 0、90° 離れた 2 点ではオオウチ図形の円と同じ D になる。カードのように円の中を 90° 回すと、円の縁ではどこでも差が D になる。その D の値は、円を置いた輪の w_pic で決まる。

→ オオウチ錯視と引き伸ばした市松（元の図形と模型）

→ 雷文を色の帯にしてトンネルへ巻く（巻き方）

→ オオウチ図形を 4 段の明るさで塗る

機械で分かる範囲と、目でしか分からない範囲

機械で確かめたのは、升の像が相似になることと縦横比の式、置いた模型の中での偏りの差 D と長方形の大きさの関係、画素で測った値と閉じた式の突き合わせ、ずれの向きが 1 周で 2 回まわることである。絵がアニメーションを含まない静止画であることも調べた。

巻いた図形で円が本当に滑って見えるか、強く見える輪がどこにあるかは、人の目でしか分からない。w_pic は目のぼけの幅を単位にしているので、画面の大きさや見る距離が変われば、同じ絵でも強い輪の場所は動く。

どう作ったか

生成器は generators/ouchi-tunnel.js で、偏りの閉じた式はオオウチ錯視の生成器（generators/ouchi.js）の 1 次元の平均の積をそのまま呼んだ。画素の測りは、点のまわりを刻み 0.5 で描き、分離できるガウスでぼかし、中心差分の勾配をガウスの窓で積んだ。カードと帳簿の絵は、1 画素を 3 × 3 に分けて墨の数を数え、地と墨を 10 段で混ぜた色で塗った。

確かめていないこと。人の目で滑って見えるか、どの輪で強く見えるかは確かめていない。目のぼけの幅、勾配のノイズの大きさ、窓の大きさは自分で置いた値である（オオウチ錯視の記事と同じ）。中心を見つめたときに周辺でぼけが広がる効果（第47号・第49号の標本）は入れていない。巻いた絵と 1 次近似の差の見積もりは s² の 1 次までで、符号が変わる所の式（1.74）と画素（1.8 前後）のずれの理由は確かめていない。Fermüller らの模型にある、内と外を別の動きとして切り分ける段は計算していない。

出典

模型

C. Fermüller, R. Pless, Y. Aloimonos, "The Ouchi illusion as an artifact of biased flow estimation", Vision Research 40 (2000) 77–96。縮み S = (M + Nσ²I)⁻¹M の模型はオオウチ錯視の記事で著者の PDF を読んで使ったもので、この号では新しく開いていない

数理

升の像が相似になること、縦横比の sinhc の式、w_pic = r/|A|、ずれ −(D/2)(cos 2φ, sin 2φ) と 1 周で 2 回まわることは自分で導き、数値で確かめた

親戚

オオウチ錯視と引き伸ばした市松・雷文を色の帯にしてトンネルへ巻く・和柄を版画画廊の写し方で巻く・オオウチ図形を 4 段の明るさで塗る

生成

generators/ouchi-tunnel.js（ouchi-tunnel.svg 巻いたオオウチ図形・ouchi-tunnel-book.svg 帳簿）