頂点に咲く花

なにか

頂点に集まるタイルの角 1 つにつき、花びらを 1 枚描く。花びらは角の二等分線を軸にした扇で、開きは角の 0.6 倍にした。1 倍にすると隣の花びらとつながって円になり、花に見えない。花びらの数は頂点に集まるタイルの数で、Penrose の菱形では 3〜7 枚になる。

これだけなら、花は頂点の型の絵でしかない。Penrose の菱形の頂点の型は、角の並びで分けると 7 種類で、非周期のギリでこの盤の上で数えてある。de Bruijn（1981）は矢印の付き方まで含めて 8 種類と書いていて、腕の本数は 3・3・4・5・5・5・6・7 になる。頂点の型を色分けした絵は、この 7 種類の分布を描き直したものにしかならない。そこで花の大きさを、頂点の型ではなく、タイリングの階層と、まわりの花との押し合いで決めることにした。

→ ペンローズ・タイリング P3（床）
→ 非周期のギリ（頂点の型 7 種）
→ 動画の棚（位の高い花からほぼ一斉に咲く 4.3 秒）

位と咲く順

Penrose の置換は、頂点を動かさない。置換は既にある頂点のあいだを黄金比で割って新しい頂点を足すだけなので、置換 6 回の盤の頂点は、7 回の盤にもそのまま頂点として残る。そこで、置換 7 回の盤の頂点のうち、置換 7−k 回の盤にも頂点としてあるものの最大の k を、その頂点の位と呼ぶ。位の高い頂点は、大きな超タイルの角である。置換 7 回の盤では、位 0 から 7 までの頂点が 1,915・735・285・115・45・15・5・11 個ある。

咲く順は自分で決めた。位の高い花から咲く。同じ位の花は同時に半径 0 から同じ速さで育ち、花びらがほかの花の花びらに触れたら、その花は花ごと止まる。先に咲いて止まった花に触れても止まる。上限は、位 k の超タイルの辺の半分、つまり菱形の辺の 0.5τ^k 倍にした。位は 4 で頭打ちにしている。頭打ちにしないと、窓の中心にある位 7 の頂点の花が半径 14 辺まで育ち、絵のほとんどを 10 枚の花びらで覆ってしまう。上限を τ^k にするかぎり、どの窓にも窓と同じ大きさの花が 1 輪入る。

触れるかどうかは、花びらの形から厳密に出した。止まった花びら（円板と半平面 2 枚の共通部分）と、育っている花びらの楔（半平面 2 枚）の共通部分は凸なので、育つ花の中心からの距離は、境界の線分と円弧の最近点で決まる。同時に育つ 2 輪が触れる時刻は、この距離を使った二分法で出した。

咲けない花

位 0 の 1,915 輪のうち 875 輪（45.7%）は、先に咲いた花の花びらの下に頂点があって、咲けなかった。置換 9 回の盤（頂点 21,106）でも、位 0 の 12,995 輪のうち 6,105 輪（47.0%）が咲けず、割合は窓を広げても変わらなかった。位 1 では 735 輪のうち 250 輪、位 2 では 285 輪のうち 120 輪が咲けず、位 3 と 4 は全部咲いた。

比べるために、中心からの距離の順に 1 輪ずつ咲かせてみた。咲けないのは 5 輪だけになり、代わりに位 0 の 1,605 輪が上限の 0.5 辺で止まって同じ大きさの粒になった。位の順で咲かせると、窓（中心から半径 0.8）の中の花の面積は窓の 60.8% を占め、距離の順では 49.4% だった。大きい花が先に場所を取るぶん、隙間が減る。

見立て

数える前に、見立てを 5 つ決めた。

1 つ目は、位 k の頂点の数が位 k＋1 の頂点の数の τ²≈2.618 倍になる（位 0〜3・±5%）、だった。位ごとの数は置換の回数によらず同じ列（11・5・15・45・115・285・735・1,915・4,985・12,995）で、置換を 1 回深くすると位が 1 つ上がるだけになる。隣り合う比は 2.605・2.579・2.478・2.556・2.603・2.607 で、285/115＝2.478 だけが τ² の 5.3% 下にある。置換 7 回の盤では位 0〜3 の 4 本にこの比が入って外れ、9 回の盤では入らず当たる。半分当たりとした。

2 つ目は、位 0 の花の半径が同じ頂点の型の中でも 2 種類以上に散り、正方格子では位ごとに 1 種類に定まる、だった。位 0 の内側の頂点は 2 つの型しかなく（角の並び 108°・108°・144° が 1,105 輪、108°・108°・36°・72°・36° が 670 輪。残り 5 種類は位 0 では窓の縁にしか出ない）、半径はそれぞれ 8 種類と 7 種類に散った。前半は当たりである。後半は外れた。正方格子でも、内側の頂点の半径は位 0 で 7 種類、位 1 で 3 種類、位 2 で 5 種類、位 3 で 2 種類に分かれ、1 種類になるのは頭打ちの位 4 だけだった。半分当たりとした。

3 つ目は、位 1 以上の花で上限まで育つものが半分より少ない、だった。位 1〜4 の咲いた花 841 輪のうち上限まで育ったのは 86 輪（10.2%）で、当たった。4 つ目は、花の面積の合計が位の順のほうが距離の順より大きい、だった。60.8% と 49.4% で当たった。開きと上限と置換の回数を振った 12 通りでも、すべて位の順が大きかった。

5 つ目は、位の順で咲かせると半径の分布が τ^k の帯に分かれて帯のあいだが空く、だった。外れた。半径は位 0 が 0.004〜0.500 辺、位 1 が 0.050〜0.809、位 2 が 0.366〜1.309、位 3 が 0.651〜2.118、位 4 が 2.187〜3.427 に散り、空くのは位 3 と 4 のあいだだけだった。小さい位の花は、先に咲いた大きな花の花びらのすぐそばでは半径 0 近くまで縮むので、帯の下端が 0 まで伸びる。

正方格子とピンホイール

正方格子では、座標が 2^k の倍数の格子点を位 k とし、上限を辺の 0.5·2^k 倍にして同じ規則で咲かせた。位 k の点は位 k＋1 の格子に対して辺の中点型と中心型の 2 つの置き場所しかないが、半径は位 4 までの全部の格子との位置で決まるので、周期 16 の中の置き場所の数だけ種類が出る。周期の床でも、階層の順で咲かせると半径は 1 種類にならない。非周期との差は種類の数ではなく、同じ型・同じ位の花の半径が窓を広げると増えるかで見ることになる。Penrose では置換 7・8・9 回で 8・9・10 種類と増えた。

ピンホイール（置換 6 回・三角形 15,625 枚・頂点 11,249）でも咲かせた。この置換も頂点を動かさない。頂点の 58% は辺の途中に乗る T 字なので、そこには 180° の花びらを 1 枚足した。位 0 の内側の型は 5 つで、半径の種類は位 0 全体で 38 になった（Penrose は 16）。咲けないのは位 0 の 42.1% で、Penrose の 45.7% と近い。育ちの比が √5 なので位 4 の上限は 12.5 辺あり、位 4 の花 25 輪のうち 23 輪が上限まで育った。

どう作ったか

生成器は generators/vertex-flowers.js で、触れる判定と咲かせ方は tools/explore/vertex-flowers.js にある。見立ての判定とつまみ（置換 7・8・9 回、花びらの開き 0.5・0.6・0.8、上限 0.5 と 1.0）は tools/explore/vertex-flowers-count.js が数え、判定は 13 通りのうち 1 つ目だけが置換 9 回で動いた。半径の種類は辺の 0.001 倍で丸めて数えた。頂点の型は、花びらを角度の順に並べ、角の度数の並びを回転と鏡映で正規化して分けた。

動画は花の帳（中心・位・最終半径・花びらの軸と半幅）を生成器から受け取って描いた。位 4 から 0.15 秒おきに次の位が咲きはじめ、どの位も 1.2 秒で育ち切る速さにしてある。はじめは位の順に 1 秒に辺 1 本の速さで 12.7 秒かけていたが、ほぼ一斉に咲くほうを選び、咲き終わりを 1.8 秒にして、最後のコマで 2.5 秒止めた 4.3 秒にした。

確かめていないこと。1 つ目の見立ての比が τ² に収束することは、6 本の比が並ぶのを見ただけで、証明はしていない。半径の種類の数は丸めの幅で動き、0.01 辺の丸めでは確かめていない。ピンホイールの T 字の花びらは 180° を 1 枚にし、辺の両側で 2 枚に分ける数え方は試していない。Hat は位の決め方を決めていないので咲かせていない。咲く順の規則に出典はなく、頂点に大きさの違う花を階層で置いた先例は、調べた範囲では見つからなかった。

出典

頂点の型

N. G. de Bruijn, "Algebraic theory of Penrose's non-periodic tilings of the plane", Indagationes Mathematicae 43 (1981), 39〜66。頂点の型は p.48 の図 7。この盤の上での 7 種類の数えは非周期のギリで行い、ここではその結果を使った

床

R. Penrose (1974) の P3。実装はペンローズ・タイリング P3と同じ Robinson 三角形の置換。ピンホイールはピンホイール・タイリングの Radin の組

数理

花びらの形、位の決め方、咲く順、触れる判定、半径の種類と面積の数え方は自分で組んだ

親戚

ペンローズ・タイリング P3・非周期のギリ・蔓を敷く・毛並みとつむじ・ボロノイ×Hat

生成

generators/vertex-flowers.js（vertex-flowers.svg 表紙・vertex-flowers-book.svg 帳簿・data で動画用の花の帳）。数値は tools/explore/vertex-flowers-count.js が generators/data/vertex-flowers/facts.json に書き出した。動画は tools/timelapse-vertex-flowers.py