和柄を視野に戻す

なにか

視覚野の点 (x, y) を、視野の点 z = e^{s(x + iy)} に戻す。形の定数と対数の写像で使った複素対数の逆である。視野で継ぎ目なく 1 周閉じるには、縦 2π/s が模様の縦の周期 P のちょうど k 倍になればよい。そこで s = 2π/(kP) と置いた。k は市松が 12（1 周に正方形 24 枚）、七宝つなぎが 16、麻の葉が 10、青海波が 24 である。

和柄の対称群では、市松と七宝つなぎが p4m、麻の葉が p6m、青海波が cm だった。それぞれの鏡と回転を、視覚野の上で 1 つずつ確かめてから視野に持っていった。

残る操作と消える操作

見立ては「和柄の対称性は、視野に戻しても対称性として残る」だった。半分外れた。残ったのは市松で 8 つのうち 4 つ、七宝つなぎで 8 つのうち 4 つ、麻の葉で 12 のうち 4 つで、青海波だけは 2 つとも残った。どの操作も、視覚野の上では模様を自分に重ねる本物の対称操作である（市松と七宝つなぎは 81 点、麻の葉は 271 点、青海波は 317 点で確かめた）。

分かれ目は、閉じる向きである。視野で 1 周するのは視覚野の縦の向きなので、縦を縦に（上下を返してもよい）写す操作だけが、視野の上でも 1 つの写像に決まる。恒等、180° 回転、横の線での鏡、縦の線での鏡がそれにあたる。90° 回転や 45° の鏡は縦を横に倒し、60° 回転や 30° の鏡は縦を斜めに倒す。これらは、視野のどこから数えて 1 周目とみなすかで行き先が変わってしまう。

2 つのやり方で確かめた。1 つは、操作の線形部分が縦の周期を ±縦の周期に写すかを式で見る方法である。もう 1 つは、視野の点を対数の 1 つの枝で視覚野に戻し、操作をかけて視野に戻したとき、元の点の集まりに重なるかを見る方法である。残る操作は 100% 重なり、消える操作は 50〜57% しか重ならなかった。2 つのやり方の分け方は、全部の操作で一致した。

残る操作は円を円に写す

残る操作の視野での形を式で書いた。横の線 y = c での鏡は z ↦ e^2isc z̄ で、放射の線を軸にした本物の鏡になる。縦の線 x = c での鏡は z ↦ e^2sc/z̄ で、半径 e^sc の円での反転になる。中心 (c, d) のまわりの 180° 回転は z ↦ e^{2s(c + id)}/z になる。平行移動 (a, b) は z ↦ e^{s(a + ib)} z で、縦なら回転、横なら拡大、斜めなら螺旋を描く相似になる。どの式も、視覚野に戻して操作をかける計算と 1×10⁻¹⁵ 以内で一致した。

どれも円を円に写すメビウス変換か、その鏡像である。視野の円を写した像は、残る操作では半径の 3×10⁻¹⁵ 以内で円に乗った。消える操作を対数の 1 つの枝で無理にかけると、像は円から半径の 2〜4% 外れた。和柄の縦の鏡が視野では円での反転になるので、この絵はインドラの網やシュタイナー鎖と同じ反転の仲間に入る。

→ 和柄の対称群（市松・七宝つなぎ・麻の葉・青海波の群）

→ 形の定数と対数の写像（同じ複素対数）

→ インドラの網（円での反転）

→ ヒマワリを視覚野の座標に写す（逆向きの写し方）

どう作ったか

和柄は、和柄の対称群と同じ作り方の骨格を点の集まりにした。市松は色のついた正方形の中心、七宝つなぎは円の中心、麻の葉は三角格子の頂点と三角形の中心、青海波は扇の中心と、扇の開く向きの印である。青海波は、扇の列が視野で輪になるように、列を縦に並べた。視野の絵は、視覚野の線分を細かく刻んで写した折れ線で描いた。

確かめていないこと。対称操作は点群の要素だけを数え、すべり鏡映は数えていない。視覚野の座標は複素対数だけで、中心の近くの補正は入れていない。この絵が目にどう見えるかは調べていない。

出典

数理

和柄の群（市松・七宝つなぎ p4m、麻の葉 p6m、青海波 cm）は和柄の対称群の判定。複素対数は形の定数と対数の写像と同じ関数（そこでの出典は Bressloff ほか 2002）。残る操作の式は自分で導き、数値と突き合わせた

親戚

和柄の対称群・形の定数と対数の写像・インドラの網・シュタイナー鎖・江戸小紋三役と格子の向き・ヒマワリを視覚野の座標に写す

生成

generators/wagara-v1.js（wagara-v1.svg 視野に戻した麻の葉・wagara-v1-book.svg 帳簿）