かけ算第19号｜Hat の回折像 × 非周期タイリングの棚
回折の動物園 — 「非周期」は一枚岩ではなかった
同じ物差しで全員を測る
Hat の回折像（かけ算第18号）で「非周期には二種類ある」ことが見えた（発見28）。ならば収蔵品を全員並べて測れば、種類の表が作れるはずである。物差しは3本——①回転対称（ブラッグ点を回して写した先の強度）②鏡映線の有無（向きを総当たり）③完全コヒーレンス max S(q)/N。
3本めが今回の道具の発明である。S(q)/N = 1 になる q がある ⟺ 全点で位相がそろう ⟺ 点が格子に乗る。「格子に乗るか」という構造の問いが、スカラー1つの走査に変わる。しかも独立な2本の G が見つかれば、その双対格子（a·G = 2π）に全点が乗っているかを実空間の距離で測り直せる——判定と検算が別の空間でできる。
★家系は3つに割れた
| タイリング | 回折の回転対称 | 鏡映 | コヒーレンス | 家系 |
|---|---|---|---|---|
| 三角格子（対照） | 6回 | あり 1.00 | 1.000000 | ただの結晶 |
| Hat | 6回 | なし 0.2〜0.3 | 1.000000 | ①格子の上の非周期 |
| Krinkle（ウェッジ内） | 2回 | —（斜交格子） | 1.000000 | 局所はただの結晶 |
| ペンローズ P3 | 10回 | あり 1.00 | 0.48（窓で0.48〜0.76） | ②真の準周期 |
| アンマン–ビーンカー | 8回 | あり 1.00 | 0.85 | ②真の準周期 |
| ドデカゴナル | 位置は12回・強度は6回 | あり 1.00 | 0.50 | ②真の準周期 |
| Spectre | 6回 | なし 0.5〜0.6 | 0.52（2倍窓でも0.52） | ②真の準周期（！） |
| Krinkle（大域） | 22回（＝11回×フリーデル） | 0.75〜0.83（未確定） | 0.07 | ③縫い目の秩序 |
①格子の上の非周期——Hat のコヒーレンスは 1.000000。見つかった G の双対格子は最近接距離のちょうど 1/4 の三角格子で、全点の残差は 10⁻⁸。v1.22 で実空間から見つけた発見28が、今回は回折だけから自動で出てきた（独立2経路）。②真の準周期——ペンローズ・AB・ドデカ・Spectre は 0.48〜0.85 で頭打ちし、どの窓でも 1 に届かない。③縫い目の秩序——Krinkle は下の節で。
★兄弟の分かれ道: Hat は格子に乗り、Spectre は乗らない
Hat と Spectre は同じ族のモノタイル（Spectre は Hat の族の Tile(1,1)）なのに、回折の家系が違う。Hat の重心は周期格子に厳密に乗る（コヒーレンス 1.000000）が、Spectre は 0.52 で頭打ち——窓を2倍にしても 0.519 で動かない。どちらも回折は6回対称で鏡映線がない（Hat 0.2〜0.3・Spectre 0.5〜0.6、探した範囲は 0〜30° を1°刻み）。カイラルという性格は兄弟で共通、足元の格子だけが違う。
おまけにドデカゴナルで細かい割れ方も見えた: 30° 回すとピークの位置は 54/60 で写るのに、強度は 0.74 に崩れる——位置は12回・強度は6回。多重格子のオフセット位相（作るときに入れた 0.138, 0.267, … という目盛りのずれ）が、位置ではなく強度だけを壊している。
★Krinkle の秩序は「縫い目」にある
Modulo Krinkle は剰余数列 j·m mod k で作る非周期タイリングだが、回折で見ると正体がはっきりする。ウェッジ（扇形の区画）の中は、1種のタイルを平行移動で敷き詰めただけの完全な結晶である。非周期性はぜんぶウェッジどうしの接ぎ目（回転の縫い目）に集中していて、中心を含む窓で測ると22回対称（実空間の11回×フリーデルの反転）が立つ——結晶学的制限（和柄の対称群・回転は 1,2,3,4,6 だけ）の完全な外側の回転が、剰余算術から出てくる。対照に5回・6回・7回は 0.1 以下で立たない。
同じタイリングなのに、窓の場所しだいで回折が「結晶」にも「11回対称」にもなる——ペンローズ（どこを切っても準周期）とも Hat（どこを切っても格子の上）とも違う、第三の家系である。
どう作ったか
機械検査は22件: ①対照の三角格子で 1.000000・双対格子＝自分自身 ②★Hat 1.000000・双対格子＝最近接の1/4（発見28の回折側からの再発見）・窓を縮めても判定不変 ③★Krinkle ウェッジ内 1.000000＋構成からの第2経路（残差 10⁻¹²）④★Spectre は 0.52 で頭打ち（窓2倍で 0.519）・6回・鏡なし ⑤ペンローズ 10回・鏡あり・0.48 ⑥AB 8回・鏡あり・0.85 ⑦ドデカ＝位置は12回（54/60）強度は0.74 ⑧★Krinkle 大域 22回（0.90）・対照の5/6/7回は立たない・コヒーレンス0.07 ⑨フリーデルの法則（自己検証）⑩出荷SVG3枚。⚠️どの数値も「この窓」での測定で、1未満のコヒーレンス値は窓の取り方で動く（ペンローズで 0.48〜0.76 を確認）——不変なのは「1.000000 か、届かないか」。
出典
- 数理
- 回折像＝構造のフーリエ変換の絶対値²。S(q)/N = 1 ⟺ 全点の位相がそろう、は構造因子の定義から。フリーデルの法則 S(−q) = S(q)。各タイリングは収蔵品の生成器（置換・多重格子の双対・剰余ずらし）
- こちらの主張
- 表の全数値はこの作品の測定（重心の点集合だけ・形状因子は落としている・タイル1枚の向きの情報は入らない）。「準周期」「極限周期」等の文献用語との対応づけはしていない——ここでは測れる3本の物差しの値だけで家系を分けた
- 探した範囲
- コヒーレンスは |q| ≤ 30（最近接距離＝1の単位）・粗い走査 0.1 → 山登りで精密化。鏡映線は 0〜180/n° を1°刻み。窓は中心を外した円窓（Krinkle 大域だけ回転中心を含む）
- 生成
- generators/diffraction-zoo.js（点集合8種・コヒーレンス走査・双対格子・対称性の測定・図3枚。道具は generators/diffraction.js（かけ算第18号）を再利用。依存ゼロ）