隙間で、
かたちの数理と遊ぶ。

Hat タイル

1種類だけで平面を埋め、決して周期しない。アインシュタイン問題の解 (2023)

Spectre タイル

裏返し（鏡映）すら使わない真のアインシュタイン。Hatの3か月後 (2023)

ペンローズ・タイリング P3

2種類の菱形だけで平面を埋め、決して周期しない。R. Penrose (1974)

ギリ・タイル

イスラム幾何文様の5種のタイル。辺の中点から54°の帯を描いて並べるだけで、帯が辺を越えて直線でつながる (Lu–Steinhardt 2007)

非周期のギリ

ペンローズの菱形（太い方がギリの菱形そのもの）にギリの帯の規則をそのまま載せる。共有辺の中点815個すべてで180°＝帯は非周期でも直線で続く

ピンホイール・タイリング

1種の直角三角形で向きが増え続ける非周期。向きを増やすのは回転でなく裏返し。Federation Square の壁 (Radin 1994)

フィボナッチ・ワード

2つの幅の縞だけで決して繰り返さない。非周期タイリングの1次元の祖先。複雑さ n+1・回折は2つの波数の整数結合

ミウラ折り 立体

自由度1＝スライダーひとつで畳める。ドラッグで回転（インタラクティブ）

吉村パターン 円筒

缶が潰れるときの模様。剛体では折れない（インタラクティブ）。吉村慶丸 (1951)

ミウラ折り 展開図

地図の畳み方として身近。一枚の紙が一動作で開閉する。三浦公亮 (1970)

吉村パターン 展開図

三角形のダイヤモンド模様。折って丸めると多面体の円筒になる

チューリング・パターン

シマウマの縞もヒョウの斑点も同じ数式から。A. Turing (1952)

アーベル砂山

4粒たまったら隣に配るだけ。崩す順番によらず同じ紋様・帳簿はラプラシアン・群には単位元 (Bak–Tang–Wiesenfeld 1987)

ロザンジュ・タイリング

積み木の錯視＝箱に積んだ立方体と1対1。乱数で積むと角が凍って内接円が浮く（アークティック・サークル）。枚数は各n²で不変

トゥルシェ・タイル

1種のタイルを乱数で回すだけの迷路。輪は100セルに10本・大きさに典型なし・糸の次元1.67 (Truchet 1704 / Smith 1987)

ポアソン・ディスク

「どの2点も r 以上離す」だけの水玉。均等（低波数の S≈0.1）だが規則（ブラッグ点）はない＝青ノイズ (Bridson 2007)

ボロノイ図

キリンの網目・トンボの羽・泥のひび割れ。「どの点に近いか」の分割 (1908)

距離を変えたボロノイ

「近い」の物差しを L1/L2/L∞/重みに取り替える。境界の向きは量子化する（L1 77%）のに隣接は9割そのまま。島が出るのは重みだけ

ハニカム

蜂の巣とシャボン玉。壁が最少なのは六角形＝2000年越しの証明 (2001)

ハサミムシの扇

羽を1/10に畳む虫の扇子。要が紙の外にあり、輪の折り線で2回折り返す (2018/2020)

フィロタキシス

松ぼっくりとヒマワリの螺旋はなぜフィボナッチ数か。黄金角137.5° (1979)

コーヒーカップの光

カップの中の明るい曲線の正体。遠い光ならネフロイド、縁の光ならカージオイド

DLA — 雷の枝

「触れたら凍る」だけで樹枝が生える。次元1.68＝線と面の間 (1981)

双曲タイリング {7,3}

レタスの縁の世界地図。平面で不可能な「七角形を3枚ずつ」が負曲率なら収まる

対数螺旋

貝が家を建て増す方法。回転＝拡大＝連続の自己相似。オウムガイは1周で3倍

ルーローの三角形

円じゃないのに幅が同じ。マンホール・ロータリーエンジン。同幅で面積最小 (1914)

スーパー楕円

|x|ⁿ+|y|ⁿ=1。指数1つで菱形→楕円→長方形。尖る場所は n=2 を境に軸から対角へ跳ぶ（軸の曲率 ∝ ε^(1−2/n)）(Lamé 1818・Piet Hein)

ジャイロイド

蝶の翅の構造色と3Dプリンタの中身。空間を合同な2つの迷路に割る極小曲面 (1970)

モアレ01 — 差の波

網戸2枚で生まれる大きな波。円×円の縞は双曲線＝「小さなずれの拡大鏡」

モアレ02 — 放物線の岸

円×直線の縞は放物線。差の波は右岸に、和の波は左岸に住む

モアレ03 — 風車のバラ

放射N₁×N₂＝|差|枚羽根の風車。0.8°回すと20°回る「角度の副尺」

モアレ04 — モアレ拡大鏡

微小図形×ピッチ差＝レンズなしで26倍。紙幣の「動く模様」と同じ原理

アンマン–ビーンカー

銀比1+√2と8回対称の非周期。4次元の周期格子の影として作った (1982)

ドデカゴナル（12回対称）

時計の文字盤の非周期。結晶には作れない12回対称、√3が支配する (1989)

Wang タイル

角の色を合わせるだけ。11枚・4色が最小＝55年の競争の決着 (2015)

Modulo Krinkle

会社員が趣味で見つけた非周期。当ギャラリーの着想元のひとつ、道具は剰余の計算だけ (2025)

組紐と最大公約数

糸の本数 = gcd(縦, 横)。ユークリッドの互除法が色の数として見える

コーラム

点格子を一筆で巡る南インドの紋様。鏡1枚で輪はちょうど±1（0は出ない）＝一筆は「輪−1」枚の鏡で必ず作れる (Gerdes 鏡の曲線)

カフェウォール錯視

目地は厳密に水平——傾きは目の中で作られる。目地を白にすると消える (1979)

フレーザーの偽螺旋

たどれば円、見れば渦。傾きを信じれば1周6.8倍のはずが、実物のずれは0 (1908)

ペンローズの三角形

角はどれも正しいのに全体は作れない。不可能＝投影の核に隠れた変位 (1958)

オートステレオグラム

平行法で帽子が浮かぶ。奥行きは1画素も描かれていない——符号は間隔の列 (1990)

サイクロイド

自転車のバルブの軌跡。最速の坂＝どの高さから放しても同着（振り子時計の心臓）

カテナリー

電線のたるみ＝cosh。荷重の配り方を替えると放物線に化ける（吊り橋）(1691)

結び目の不変量

ほどけるかを多項式が言い当てる。交差の数は結び目の性質ではない (1984)

Resch パターン

紙で球は包めない。だから角をひだにためこむ——裁縫のダーツと同じ装置

ドラゴン曲線

紙を14回半分に折って開くだけ。山谷の並びは自分で決めていない (1966)

ヒルベルト曲線

1本の線が正方形を埋める。「番号が近い→場所が近い」は定数で守り、「場所が近い→番号が近い」は全曲線が破る＝守れるのは片方 (Hilbert 1891)

アポロニウスのガスケット

隙間に入る円は足し算だけで決まる。円の大きさには入れない番号がある (1643)

太鼓の節線

砂が集まる線。同じ音のまま模様だけ無限に変わる。面積は聞こえる、形は聞こえない。スライダーで動かせる

誘電破壊

雷の枝を場から育てる。つまみ1つで苔から一本道まで——次元が1.93→0.92 (1984)

異方性DLA

枝の向きは格子が決める。ただし乱数を薄めないと偶然の腕に隠れて見えない

織りの数理

ジーンズの藍、サテンの光沢。四枚繻子と六枚繻子は数のせいで存在しない (1980)

和音のかたち

2つの音を縦と横に入れると図形になる。協和音＝単純な閉曲線 (1857)

雪の結晶

6回対称はどこにも書き込んでいない。乱数ゼロの規則3つで樹枝から板まで (2005)

イモガイの貝殻

模様は空間ではなく時間の記録。縁でしか成長できないから三角形になる (1983)

泡の法則

どの泡が消えるかは辺の数で決まる。5辺以下は縮み、7辺以上は育つ (1952)

葉脈と血管

細り方は3乗で決まる。分岐角は泡と同じ釣り合い——等径なら120° (1926)

木はどこまで高くなれるか

倒れない高さは半径の2/3乗。木・血管・泡は同じ一本の曲線の3点だった (1881)

砂丘の風紋

平らな砂は平らでいられない。跳ぶ距離が間隔を、ならしが濃さを決める (1993)

和柄の対称群

手ぬぐいの模様は17種類のどれかに入る。5回対称の席だけが無い (1891)

ユークリッドリズム

ボサノバは互除法から出てくる。均等の条件は二つあって役割が違う (2003)

時間と周波数

窓を短くすると時刻が分かり、音の高さが分からなくなる。下限は 1/4π (1946)

結晶のかたち

境界を作るエネルギーが向きで違うと円は選ばれない。角が立つしきい値は 1/(n²−1) (1901)

川の分岐

枝の本数は等比で減る。木であることだけでは比は 2 にしかならない (1945)。窪地を埋めても指数は動かず、箱を縦長にすれば文献値は出た——出していたのは壁

乾燥亀裂と柱状節理

順に割れると90°、同時・釣り合いなら120°。角度を決めるのは時間割 (1962)

ロープだけの作図

麦畑の道具はロープ＝コンパス。定規なしで幾何は全部できる。中点は円7つ (1672)

πのらせん

弧の角度÷36°＝円周率。独立2経路で計算した40桁を麦畑の符号で刻む (2008)

ジュリア集合

2乗して c を足すだけ。つながるか塵かは軌道1本で決まり、見た目では分からない (1918)

畑の円の面積比

内接と外接の円の比が音程になるのは3・4・6角形だけ。壁紙の17種と同じ源 (1956)

かけ算第1号｜フィロタキシス × ボロノイ

ヒマワリのボロノイ

隣どうしの番号差は100%フィボナッチ・面積はほぼ均一＝螺旋の正体が見える

かけ算第2号｜チューリング × ミウラ折り

チューリング×ミウラ折り

折り目だけ拡散を遅くすると、縞は折り線に沿って走り出す

かけ算第3号｜ボロノイ × Hat

ボロノイ×Hat

乱数ゼロのランダム網目。赤＝鏡映の縄張り＝1/(1+φ⁴)

かけ算第4号｜アンマン–ビーンカー × 組紐

非周期のケルト装飾

gcd が消えたあとに残るもの＝全体を渡る巨大な糸2本と、星のまわりの小さな輪

かけ算第5号｜モアレ × フィロタキシス

Glass パターン

ヒマワリ2枚を7.7°回して重ねると、相方は必ず21番先＝フィボナッチ

かけ算第6号｜ジャイロイド × チューリング

ジャイロイド×チューリング

蝶の翅の2つの数理を同居させる。縁のない曲面を縞がくぐり抜ける

かけ算第7号｜双曲平面 × ボロノイ

双曲ボロノイ

「平均6」は平坦の特権。負曲率では 6 + 3a/π に書き換わる（{7,3}で厳密に7）

意匠化第1号｜Spectre の縁 × 三つ山の波

Spectre 織り

噛み合い条件2式を守れば縁は何でも布になる——テキスタイル試作第1号

意匠化第2号｜Modulo Krinkle の縁 × ひと山の波

Krinkle 織り

回転の中心が1本の直線の辺として布に刻まれる——数理の制約が意匠になる

かけ算第8号｜モアレ × ハニカム

ひねった蜂の巣

マジックアングルの数理。可換角 cosθ=13/14 では√7倍の超格子が厳密に立つ

かけ算第9号｜モアレ × 組紐

絹の水紋

moiréの語源は織物。糸のゆらぎAが縞ではA/εに拡大される——ゆらぎの拡大鏡

かけ算第10号｜モアレ × ミウラ折り（立体）

縞の等高線

面に投影した縞×参照格子＝等高線。側弯症検診にも使われた「縞で測る3D」

かけ算第11号｜モアレ × アンマン–ビーンカー

ひねった準結晶

非周期をひねっても親の式は効く。縞も多重格子＝8回対称は重なりを生き延びる

かけ算第12号｜ケルト装飾 × 結び目の不変量

結ばれた輪

ペンローズの糸だけが本当に結ばれている。しかも出る結び目に必ず5が入る

かけ算第13号｜チューリング（阻害場） × フィロタキシス

黄金角の生まれ方

角度はどこにも書いていない。押し合うだけで137.5°が出てくる——枝は4本ある

かけ算第14号｜DLA × アンマン–ビーンカー／ペンローズ

準結晶の上の雷

並進対称がなくても枝は向きを持つ。8回格子は8方向、10回格子は10方向を選ぶ

かけ算第15号｜和音のかたち × フィロタキシス

なぜ鍵盤は12個か

葉と音は同じ装置に正反対の注文をしている。黄金角は「どの枚数でも負けない」

かけ算第16号｜和音のかたち × モアレ

和音のモアレ

協和の単純さは超格子の粗さ。古代の協和音程＝縞が超格子そのままに出る比

かけ算第17号｜和音のかたち × Hat

周転円で描く角

円の足し算で角を作ると必ず 8.9490% 行き過ぎる。矩形波とタイルの角は同じ曲線

かけ算第18号｜Hat × 周転円で描く角

Hat の回折像

部品は鏡を含むのに全体は鏡に映せない。鏡映の帽子は 1/2 ではなく 1/(3φ²)

かけ算第19号｜Hat の回折像 × 非周期タイリングの棚

回折の動物園

「非周期」は3家系に割れる。Hat は格子に乗り、兄弟の Spectre は乗らない

かけ算第20号｜太鼓の節線 × 非周期タイリング

かけ算第20号｜非周期の太鼓

同じ音を2つ持てるかを決めるのは、非周期かどうかではなく回転対称だった

かけ算第21号｜川の分岐 × 葉脈と血管

かけ算第21号｜葉脈の分岐比

葉脈は二分木の2でも川の5でもない。羽状脈の分岐比は側脈の本数そのもの。横枝の角度を決められるのは Murray だけ

かけ算第22号｜結晶のかたち × 雪の結晶

かけ算第22号｜平衡形と成長形

同じ格子で水蒸気を減らすほど、雪の成長形は Wulff の六角へ単調に近づく（一致率 32%→94%）。角の向きも同じ

かけ算第23号｜ボロノイ × 泡 × 乾燥亀裂

かけ算第23号｜詰まり方の帳簿

緩和はつながりの帳簿を1ビットも変えず、面積の帳簿だけ変える。順に割ると分散は2.5倍。隣の相関 a はこの規模では読めない